newton y leibniz: septiembre 2015

CALCULO DIFERENCIAL.

ASESOR: Juan José Sandoval Sánchez.

ALUMNA: Lizbeth, Karina, Teresa y Enereida.

GRUPO: 5 “J”

FECHA: 25/08/15

ACT. 1

En matemática, el límite es un concepto que describe la tendencia de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor. El límite de una función es un concepto fundamental del cálculo diferencial matemático.

Informalmente, el hecho que una función f tiene un límite L en el punto p, significa que el valor de f puede ser tan cercano a L como se desee, tomando puntos suficientemente cercanos a p, pero distintos de p.

En análisis real para funciones de una variable, se puede hacer una definición de límite similar a la de límite de una sucesión, en la cual, los valores que toma la función dentro de un intervalo se van aproximando a un punto fijado c, independientemente de que éste pertenezca al dominio de la función. Esto se puede generalizar aún más a funciones de varias variables o funciones en distintos espacios métricos.

Informalmente, se dice que el límite de la función f(x) es L cuando x tiende a c, y se escribe:

$\lim_{x\to c} \, \, f(x) = L$

si se puede encontrar para cada ocasión un x suficientemente cerca de c tal que el valor de f(x) sea tan próximo a L como se desee.

Para un mayor rigor matemático se utiliza la definición épsilon-delta de límite, que es más estricta y convierte al límite en una gran herramienta del análisis real. Su definición es la siguiente:

"El límite de f(x) cuando x tiende a c es igual a L si y sólo si para todo número real ε mayor que cero existe un número real o mayor que cero tal que si la distancia entre x y c es menor que δ, entonces la distancia entre la imagen de x y L es menor que unidades".

Esta definición, se puede escribir utilizando términos lógico-matemáticos y de manera compacta:

$\begin{array}{l} \underset {x\to c}{\lim} \, \, f(x) = L \iff \forall \varepsilon > 0 \ \ \exists \ \delta > 0 : 0<|x-c|<\delta \longrightarrow |f(x)-L|<\varepsilon \end{array}$

Si f(x) y g(x) son funciones de variable real y k es un escalar, entonces, se cumplen las siguientes propiedades o reglas:

https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh1DWttSb7z5jLv5gvqlP5mHcOt0HUwCNPUQQOhL2wHin007n8h9HQmfGkprd7IxHUH8WQHKenqLePsT4nK_KfaJagmvX4xEOP-N4WPHgtHCtCsVO0FnyoQIxe9VrK5rbv6bTiTkkFss5g/s1600/leyes-de-limites.jpg

LIMITE CERRADOS, ABIERTOS.

Un tipo de conjuntos de números reales muy importantes son los intervalos.

Un intervalo abierto (a, b) está formado por todos los números reales comprendidos entre el número a y el número b. Ni a ni b están incluidos. Los números a y b son los extremos del intervalo.

Por ejemplo, el intervalo abierto (2, 5) es un conjunto que incluye a infinitos números: todos los comprendidos entre el 2 y el 5 (pero no ni el 2 ni el 5). Así los números 3, 4, 2´5, 3´6, 4´9, 4´9999, pertenecen al intervalo. En cambio los números 2, 5, 1´9, 1, 5´001, no pertenecen a él.

Un intervalo cerrado [a, b] está formado por todos los números reales comprendidos entre el número a y el número b, incluyendo al número a y al número b.

Así, el intervalo cerrado [-1, 3] incluye a infinitos números: todos los comprendidos entre el -1 y el 3 (y ambos). Los siguientes números pertenecen al intercalo: -1, 0, -0´2, -0´99, 1, 2, 2´3, 2´8, 2´999. En cambio no pertenecen al intervalo los siguientes: -2, -2´3, -2´001, 3´01, 4.

Un intervalo semiabierto (a, b] está formado por todos los números reales comprendidos entre el número a y el número b. El número a no está incluido pero el número b sí lo está.

El intervalo [-4, 5) es semiabierto. Incluye a los infinitos números comprendidos entre el -4 y el 5 (pero no incluye al 5, sí al -4). No están incluidos en él: -4´1, -5, 5, 5´2. Sí están incluidos: -4, -3´8, -2, 0, 3, 4´999.

¿En cuál de los siguientes intervalos estará incluido el número -2? A) (-2, -1). B) [-3,-1]. C) [-4, -2). D) (-1, 2). E) (-2´1, -2). F) (-2´1, -1´9).

En el A) no está incluido ya que es abierto. En el B) sí lo está ya que comprende desde el -3 hasta el -1. En el C) no lo está ya que es abierto del lado del -2. En el D) no lo está por la misma razón que antes. En el E) ocurre lo mismo. En el F) sí lo está ya que comprende todos los números entre el -2´1 y el -1´9.

POR LA IZQUIERDA O POR LA DERECHA.

Se dice que el limite por la derecha de una función $\mathrm{f}$ en el punto

, si toda sucesión $\left( \, x_n \, \right) _{n \in N}$ cuyos términos son todos mayores que

y que tiende a

verifica

$\lim_{n \to \infty} \mathrm{f} \left( \, x_n \, \right) \, = \, L$

El limite por la derecha se denota por

$\lim_{x \to x_0^+} \mathrm{f} \left( \, x \, \right)$ o bien $\lim_{{ x \to x_0 \atop x > x_0}} \mathrm{f} \left( \, x \, \right)$

El que la anterior igualdad sea cierta significa que podemos hacer $\mathrm{f} \left( \, x \, \right)$ tan cercano a

como queramos eligiendo

lo suficientemente próximo a

por la derecha.

Se dice que el limite por la izquierda de una función $\mathrm{f}$ en el punto

, si toda sucesión $\left( \, x_n \, \right) _{n \in N}$ cuyos términos son todos menores que

y que tiende a

verifica

$\lim_{n \to \infty} \mathrm{f} \left( \, x_n \, \right) \, = \, L$

El limite por la izquierda se denota por

$\lim_{x \to x_0^-} \mathrm{f} \left( \, x \, \right)$ o bien $\lim_{{ x \to x_0 \atop x_0 > x}} \mathrm{f} \left( \, x \, \right)$

El que la anterior igualdad sea cierta significa que podemos hacer $\mathrm{f} \left( \, x \, \right)$ tan cercano a

como queramos eligiendo

lo suficientemente próximo a

por la izquierda...

Aportaciones de Newton y Leibniz

Las aportaciones de Leibniz y Newton fueron las iguientes:

De 1667 a 1669 emprendió investigaciones sobre óptica y fue elegido fellow del Trinity College. En 1669 su mentor, Isaac Barrow, renunció a su Cátedra Lucasiana de matemática, puesto en el que Newton le sucedería hasta 1696. El mismo año envió a John Collins, por medio de Barrow, su “Analysis per aequationes número terminorum infinitos”. Para Newton, este manuscrito representa la introducción a un potente método general, que desarrollaría más tarde: su cálculo diferencial e integral.

Newton había descubierto los principios de su cálculo diferencial e integral hacia 1665–1666 y, durante el decenio siguiente, elaboró al menos tres enfoques diferentes de su nuevo análisis.

Newton y Leibniz protagonizaron una agria polémica sobre la autoría del desarrollo de esta rama de la matemática. Los historiadores de la ciencia consideran que ambos desarrollaron el cálculo independientemente, si bien la notación de Leibniz era mejor y la formulación de Newton se aplicaba mejor a problemas prácticos. La polémica dividió aún más a los matemáticos británicos y continentales, sin embargo esta separación no fue tan profunda como para que Newton y Leibniz dejaran de intercambiar resultados.

Newton abordó el desarrollo del cálculo a partir de la geometría analítica desarrollando un enfoque geométrico y analítico de las derivadas matemáticas aplicadas sobre curvas definidas a través de ecuaciones. Newton también buscaba cómo cuadrar distintas curvas, y la relación entre la cuadratura y la teoría de tangentes. Después de los estudios de Roberval, Newton se percató de que el método de tangentes podía utilizarse para obtener las velocidades instantáneas de una trayectoria conocida. En sus primeras investigaciones Newton lidia únicamente con problemas geométricos, como encontrar tangentes, curvaturas y áreas utilizando como base matemática la geometría analítica de Descartes. No obstante, con el afán de separar su teoría de la de Descartes, comenzó a trabajar únicamente con las ecuaciones y sus variables sin necesidad de recurrir al sistema cartesiano.

Después de 1666 Newton abandonó sus trabajos matemáticos sintiéndose interesado cada vez más por el estudio de la naturaleza y la creación de sus Principia.

Aunque la noción matemática de función estaba implícita en la trigonometría y las tablas logarítmicas, las cuales ya existían en sus tiempos, Leibniz fue el primero, en 1692 y 1694, en emplearlas explícitamente para denotar alguno de los varios conceptos geométricos derivados de una curva, tales como abscisa, ordenada, tangente, cuerda y perpendicular. En el siglo XVIII, el concepto de “función” perdió estas asociaciones meramente geométricas.

Leibniz fue el primero en ver que los coeficientes de un sistema de ecuaciones lineales podían ser organizados en un arreglo, ahora conocido como matriz, el cual podía ser manipulado para encontrar la solución del sistema, si la hubiera. Este método fue conocido más tarde como “Eliminación Gaussiana”. Leibniz también hizo aportes en el campo del álgebra booleana y la lógica simbólica.

Cálculo infinitesimal

La invención del cálculo infinitesimal es atribuida tanto a Leibniz como a Newton. De acuerdo con los cuadernos de Leibniz, el 11 de noviembre de 1675 tuvo lugar un acontecimiento fundamental, ese día empleó por primera vez el cálculo integral para encontrar el área bajo la curva de una función y=f(x). Leibniz introdujo varias notaciones usadas en la actualidad, tal como, por ejemplo, el signo “integral” ∫, que representa una S alargada, derivado del latín “summa”, y la letra “d” para referirse a los “diferenciales”, del latín “differentia”. Esta ingeniosa y sugerente notación para el cálculo es probablemente su legado matemático más perdurable. Leibniz no publicó nada acerca de su Calculus hasta 1684. La regla del producto del cálculo diferencial es aún denominada “regla de Leibniz para la derivación de un producto”. Además, el teorema que dice cuándo y cómo diferenciar bajo el símbolo integral, se llama la “regla de Leibniz para la derivación de una integral”.

Desde 1711 hasta su muerte, la vida de Leibniz estuvo emponzoñada con una larga disputa con John Keill, Newton y otros sobre si había inventado el cálculo independientemente de Newton, o si meramente había inventado otra notación para las ideas de Newton.

Leibniz pasó entonces el resto de su vida tratando de demostrar que no había plagiado las ideas de Newton.

Actualmente se emplea la notación del cálculo creada por Leibniz, no la de Newton.

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Si bien las reglas de operación y las principales relaciones entre ellas quedaron claramente establecidas con Newton y Leibniz, y con ello salía a la luz una nueva materia el Cálculo todavía quedaba mucho por hacer.
Sus fundamentos eran imprecisos, no solamente para sus autores, sino para los estudiosos de las matemáticas que les sucedieron durante ese tiempo se buscó pasar de la justificación basada en el pragmatismo dado por la consistencia de los resultados obtenidos, con la visión del mundo físico que ofrecía la geometría hacia una explicación que fuera más allá de lo intuitivamente plausible.
Esto no fue posible hasta en el que el éxito en el desarrollo del formalismo algebraico dio lugar al impulso de sistemas matemáticos independientes de los postulados afines a la experiencia sensorial.
Fue hasta entonces que el Cálculo tuvo manera de adoptar sus propias premisas y construir sus propias definiciones sujetas solamente a los requerimientos de su consistencia interna.
Queremos insistir como se pretende resaltar la gran cantidad de aportaciones que contribuyeron al nacimiento del Cálculo y hacer notar que el desarrollo de sus conceptos principales, la derivada y la integral, tuvieron una larga evolución; primero para llegar a establecerse como operaciones inversas entre si con sus reglas bien definidas, y luego para evolucionar en sus fundamentos desde argumentaciones asentadas en la experiencia sensible, hasta su elaboración final como abstracciones matemáticas definidas en términos de lógica formal mediante la idea de límite de una serie infinita. Así, la derivada y la integral están en el análisis matemático moderno definidas sintéticamente en función de consideraciones ordinales, y no en función de aquellas consideraciones de variación física y cantidades geométricamente continuas que les dieron origen.

Derivada

La derivada de la función en el punto marcado es equivalente a la pendiente de la recta tangente (la gráfica de la función está dibujada en rojo; la tangente a la curva está dibujada en verde).

En matemática, la derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función matemática, según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se torna cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado.

Un ejemplo habitual aparece al estudiar el movimiento: si una función representa la posición de un objeto con respecto al tiempo, su derivada es la velocidad de dicho objeto. Un avión que realice un vuelo transatlántico de 4500 km entre las 12:00 y las 18:00, viaja a una velocidad media de 750 km/h. Sin embargo, puede estar viajando a velocidades mayores o menores en distintos tramos de la ruta. En particular, si entre las 15:00 y las 15:30 recorre 400 km, su velocidad media en ese tramo es de 800 km/h. Para conocer su velocidad instantánea a las 15:20, por ejemplo, es necesario calcular la velocidad media en intervalos de tiempo cada vez menores alrededor de esta hora: entre las 15:15 y las 15:25, entre las 15:19 y las 15:21, etc.

Tipos de derivadas

La derivada de una constante es cero.

Derivada de x

La derivada de x es igual a 1. Es decir, la derivada de la función identidad es igual a la unidad.

Derivada de una potencia

La derivada de una potencia o función potencial, es igual al exponente por la base elevada al exponente menos uno y por la derivada de la base.

Si la base es la función identidad, la derivada es igual al exponente por la base elevada al exponente menos uno.

f(x) = x^k f'(x)= k · x^k−1

Derivada de una raíz

La derivada de la raíz enésima de una función es igual a la derivada del radicando partida por la n veces la raíz enésima de la función radicando elevada a n menos uno.

Derivada de la raíz cuadrada

La derivada de la raíz cuadrada de una función es igual a la derivada del radicando partida por el duplo de la raíz.

Derivada de una suma

La derivada de una suma de dos funciones es igual a la suma de las derivadas de dichas funciones.

Esta regla se extiende a cualquier número de sumandos, ya sean positivos o negativos.

Derivada del producto

La derivada del producto de dos funciones es igual al primer factor por la derivada del segundo más el segundo factor por la derivada del primero.

Derivada de una constante por una función

La derivada del producto de una constante por una función es igual al producto de la constante por la derivada de la función.

Derivada de un cociente

La derivada del cociente de dos funciones es igual a la derivada del numerador por el denominador menos la derivada del denominador por el numerador, divididas por el cuadrado del denominador.

Derivada de una constante partida por una función

Derivada de la función exponencial

La derivada de la función exponencial ea igual a la misma función por el logaritmo neperiano de la base y por la derivada del exponente.

Derivada de la función exponencial de base e

La derivada de la función exponencial de base e ea igual a la misma función por la derivada del exponente.

Derivada de la función logarítmica

La derivada de un logaritmo en base a es igual a la derivada de la función dividida por la función, y por el logaritmo en base a de e.

Como

, también se puede expresar así:

Derivada de un logaritmo neperiano

La derivada del logaritmo neperiano es igual a la derivada de la función dividida por la función.

Derivada de la función seno

La derivada del seno de una función es igual al coseno de la función por la derivada de la función.

Derivada de la función coseno

La derivada del coseno de una función es igual a menos el seno de la función por la derivada de la función.

Derivada de la función tangente

La derivada de la función tangente es igual al cuadrado de la secante de la función por la derivada de la función.

Derivada de la función cotangente

La derivada de la función cotangente es igual a menos el cuadrado de la cosecante de la función por la derivada de la función.

Derivada de la función secante

La derivada de la secante de una función es igual a la secante de la función por la tangente de la función, y por la derivada de la función.

Derivada de la función cosecante

La derivada de la cosecante de una función es igual a menos la cosecante de la función por la cotangente de la función, y por la derivada de la función.

Derivada de la función arcoseno

La derivada del arcoseno de una función es igual a la derivada de la función dividida por la raíz cuadrada de uno menos el cuadrado de la función.

Derivada de la función arcocoseno

La derivada del arcocoseno de una función es igual a menos la derivada de la función dividida por la raíz cuadrada de uno menos el cuadrado de la función.

Derivada de la función arcotangente

La derivada del arcotangente de una función es igual a la derivada de la función dividida por uno más el cuadrado de la función.

Derivada de la función arcocotangente

La derivada del arcotangente de una función es igual a menos la derivada de la función dividida por uno más el cuadrado de la función.

Derivada de la función arcosecante

La derivada del arcosecante de una función es igual a la derivada de la función dividida por la función multiplicada por la raíz cuadrada del cuadrado de la función menos 1.

Derivada de la función arcocosecante

La derivada del arcocosecante de una función es igual a menos la derivada de la función dividida por la función multiplicada por la raíz cuadrada del cuadrado de la función menos 1.

Aplicación de la derivada

La derivada tiene una gran variedad de aplicaciones además de darnos la pendiente de la tangente a una curva en un punto. Se puede usar la derivada para estudiar tasas de variación, valores máximos y mínimos de una función, concavidad y convexidad, etc.

Ejemplo: Encuentre los máximos y mínimos de la ecuación:

Por el criterio de la primera derivada. Obtenemos la primera derivada de la función:

Encontrando las raíces para la primera derivada tenemos: Por lo tanto tenemos algún máximo o mínimo en el punto x=0, para determinar si es un máximo o un mínimo tendremos que valuar la pendiente antes y después de cero, es decir, en sus vecindades de este punto.

Evaluando en y´(-0.01) tenemos: y´(-0.01)= -0.004

Evaluando para x después de cero tenemos:

y´(0.01)= 0.004

como la derivada alrededor de cero cambia de positivo negativo a positivo por tanto tenemos un mínimo local en (0,0).

La regla de los 4 pasos.

calculo diferencial.

Juan José Sandoval Sánchez

Karina, teresa, Enereida y Lizbeth

Regla de los 4 pasos

Derivada (Regla de los cuatro pasos)

En geometría, la derivada de una función en un punto representa el valor de la pendiente de la recta tangente en dicho punto. La pendiente está dada por la tangente del ángulo que forma la recta tangente a la curva (función) con el eje de las abscisas, en ese punto.

El incremento Dx de una variable x es el aumento o disminución que experimenta, desde un valor x = x0 a otro x = x1 de su campo de variación. Así, pues,

Si se da un incremento Dx a la variable x será a partir del valor y = f (x0).

El cociente recibe el nombre de cociente medio de incrementos de la función.

La regla de los cuatro pasos para dar incrementos a “x” y a “y” es el siguiente:

1. Dar incrementos a “x” y a “y”

2. Restar la función Original

3. Dividir entre ∆x.4. Calcular el límite cuando lim ∆x->0 ∆x / ∆y

Ejemplo:

Ejemplo 1: Y = x3 + 2x2 – 3x – 1

Regla 1. Incrementar las 2 variables (Variables X y Y). Acá se les pone el Incremento Delta (∆) representado por un triángulo a cada variable.

Y + ∆y = (x + ∆x)3 + 2(x + ∆x)2 – 3(x + ∆x) – 1

Regla 2. Desarrollar operaciones algebraicas y restarle la función original. Algebraicamente se desarrolla la ecuación (ej. binomios, trinomios) y terminado se le restará la función original al resultado.

Y + ∆y = (x + ∆x)3 + 2(x + ∆x)2 – 3(x + ∆x) – 1

Y + ∆y = (x3 + 3x2∆x + 3x∆x2 + ∆x3) + 2(x2 + 2x∆x + ∆x2) – 3x – 3∆x – 1

Y + ∆y = x3 + 3x2∆x + 3x∆x2 + ∆x3 + 2x2 + 4x∆x + 2∆x2 – 3x – 3∆x – 1

∆y = 3x2∆x + 3x∆x2 + ∆x3 + 4x∆x + 2∆x2 – 3∆x

Paso 3. Obtener la razón dividiendo la función incrementada por ∆x. Es decir, dividir cada elemento entre ∆x para así eliminar valores delta (∆x)

∆y/∆x = 3x2 + 3x∆x + ∆x2 + 4x + 2∆x – 3

Paso 4. Sustituir ∆x cuando tiende a 0 que es el límite de la función. Sustituiremos todos los ∆x por [0] en toda la ecuación y se multiplicara (Variable multiplicada por 0 da 0)

∆y/∆x = 3x2 + 3x[0] + [0]2 + 4x + 2[0] – 3

∆y/∆x = 3x2 + 4x – 3

Este es el resultado final de una derivación mediante la regla de los 4 pasos para derivar una ecuación.

KARINA, TERESA, ENEREIDA, LIZBETH.

martes, 22 de septiembre de 2015